Поздравляем учеников нашего лицея за победу в отборочной олимпиаде для формирования команды школьников страны по математике. Ниже приводится результат отборочной олимпиады: Именно они будут представлять нашу страну на всех ближайших международных математических олимпиадах. Пожелаем им, чтобы достойно представляли нашу страну и со всех олимпиад возвращались с медалями. Ниже приводятся задачи в отборочной олимпиаде. Надеемся, что  юные математики потренируются на них , чтобы подготовить себя для вхождения в будущей математической  олимпийской команде нашей страны.

1. Бобохонов Мехрон — 9 класс — 23 балла
2. Усмонов Абубакр — 9 класс — 20 баллов
3. Рахматов Суннатулло — 9 класс — 17 баллов
4. Алишери Анвар —  11 класс — 10 баллов
5. Зарифи Зармехр —  12 класс — 15 баллов

Максимальный суммарный балл составляет 28 балло.

Задачи:

1. Докажите, что если для натуральных чисел m и n выполняется равенство n^{2007}-n!=m^{2007}-m!, то m=n.

2. Имеется 2^m карточек с цифрами 1. Разрешается следующая операция: На каждом шаге выбираются две разные карточки; если числа на этих карточках равны a и b, то эти числа стирают и вместо них записывается число a + b на обоих карточках. Докажите, что после m2^{m -1} операций, сумма чисел во всех карточках не меньше 4^m.

3. Пусть точка $D$ лежит внутри треугольника ABC и точка E\=D лежит на отрезке AD. Пусть $\omega1$ и $\omega_2$ являются описанные окружности треугольников $\triangle BDE$ и $\triangle CDE$, соответственно. Пусть $\omega_1$ и $\omega_2$ пересекают с отрезком $BC$ в точках $F$ и $G$, соответственно. Пусть $DG$ и $AB$ пересекаются в точке $X$ и $DF$ и $AC$ пересекаются в точке $Y$. Докажите, что $XY\|BC$.

\textbf{4.} Пусть $ a_1,\ldots,a_n$ являются положительные действительные числа такие, что $ a_1+a_2+\ldots+a_n\le\frac n2$. Найдите минимальное возможное значение
$$\sqrt{a_1^2+\frac1{a_2^2}}+\sqrt{a_2^2+\frac1{a_3^2}}+\ldots+\sqrt{a_n^2+\frac1{a_1^2}}.$$