Каждое воскресенья каждого месяца проводятся открытые математические олимпиады ТРЛИ.  Целью проведения этих олимпиад является подготовка к различным математическим олимпиадам. Приглашаются все желающие.

Предлагаемые задачи :

1. Дан не равнобедренный треугольник [latex]ABC[/latex]. Вписанная окружность этого треугольника касается стороны [latex]BC, CA, AB[/latex] в точках [latex]D, E, F[/latex] , соответственно. Пусть [latex]FD, DE, EF[/latex] пересекаются со сторонами [latex]CA, AB, BC[/latex] в точках [latex]U, V, W[/latex], соответственно. Докажите, что середины [latex]DW, EU, FV[/latex] лежат на одной прямой.
2. Пусть [latex]d, u, v, w [/latex] являются натуральными числами такие, что [latex]u, v, w [/latex] различные числа и
   [latex]d^3-d(uv+vw+wu)-2uvw=0. [/latex]
   Докажите, что [latex]d[/latex] не является простым числом. Найдите минимальное возможное значение [latex]d[/latex].
3. Дано действительное число [latex] \alpha>1[/latex]. Последовательность [latex](s_n)_{n>=1}[/latex] определяется следующим образом: [latex]s_1=1, s_2=\alpha[/latex], если [latex] s_1, s_2, s_3, … , s_{2^n}[/latex] определены для некоторого [latex]n≥1[/latex], то [latex] s_{2^n+1}, s_{2^n+2}, s_{2^n+3},…, s_{2^{n+1}}[/latex] определяются таким образом [latex]s_j = \alpha s_{j-2}[/latex], для [latex]2^n + 1 <= j <= 2^{n+1}.[/latex] Пусть [latex]c_n = s_1 + s_2 + s_3 + … + s_n .[/latex] Если рассматривать двоичный запись числа [latex] n = (e_0e_1 … e_k)_{(2)}[/latex], то докажите что:
   [latex]c_n=(1 + \alpha)^{e_0} + \alpha(1 + \alpha)^{e_1} + \alpha^2(1 + \alpha)^{e_2} + … + \alpha^k(1 + \alpha)^{e_k}.[/latex]

Решение задач с ответами прислать по почте: olym_pi-ad@mail.ru . При отправке  указать имя и фамилия, и полное решение задач с ответами.